ご両親が代理で雇用契約を結ぶことはできません。

雇用契約を締結するのは、あくまでも会社と未成年者本人です。

未成年者の雇用契約であっても、会社と労働者である未成年者本人とで交わされるもので、親権者や後見人が本人の代わりに契約を交わすことはできません。
しかし、会社が雇用契約締結時に親権者などに同意を求めることは禁止されていません。労働条件をめぐるトラブル防止のためにも親権者などの同意を得ることは必須とした方が良いでしょう。

未成年者のうち、満18歳未満の年少者を雇用する場合は年齢確認として戸籍謄本、戸籍抄本、住民票の写し又は住民票記載事項証明書のいずれかを事業所に備え付ける必要があり、さらに就業についても労働基準法による制限がありますので事前の確認をお願い致します。